迭代功能｜金狐画板高阶绘图技巧
如果说金狐画板是一把精密的刻刀，那么 “迭代” 就是赋予它生命的魔法。无需一笔一划手动勾勒，只需设定一条简单变换规则，画板便会自动循环推演、层层衍生。寥寥几笔基础线条，就能演化出惊艳复杂的分形图案，迭代让我们亲眼见证 “一生二，二生三，三生万物” 的几何奇迹。
什么是迭代？
简单讲，迭代就是“重复执行某个变换操作”。举个例子：在线段上持续取中点，再以新中点作为基准重复操作，不断循环后，就能生成富有规律的精美图案。
金狐画板的迭代能做什么？
自由点迭代：点的位置动态变化，自动生成轨迹。
数值迭代：数值不断代入计算，逐步逼近结果。
混合迭代：点值联动，实现高阶图形变换。
深度迭代：绑定变量，动态调整迭代次数。
随机迭代：每次执行结果均不同，充满未知。
条件停止：达到预设条件时，自动终止迭代。
五个典型示例
一、单映射迭代——正五边形
1. 在绘图区绘制自由点O并双击标记为中心，再绘制自由点A(原象) ，选定点A执行“变换”子菜单“旋转”命令，将点A绕中心点O旋转72°得到点B，选定点A和点B，执行“构造”子菜单“连接”或按快捷键Ctrl+L得线段AB，如图：
2. 选定点A(原象)，然后执行“变换”子菜单“迭代”弹出“迭代”对话框，如图：
3. 鼠标点击绘图区的点B(映像)，将迭代深度(次数)设置为4，如图：
4. 点击“确定”后显示迭代结果，得到正五边形，如图：
特别提示：如果需要修改迭代参数，只要选中迭代象后点击鼠标右键，再点击“编辑迭代”即可再次打开“迭代”对话框，可以根据需要修改相关迭代参数。
二、多映射迭代——谢尔宾斯基三角形
1. 执行“数值”子菜单“变量”命令弹出“变量”对话框，“名称”修改为n(迭代次数)，“精确度”修改为“单位”，其他可以使用默认值，点击“确定”后创建变量n，如图：
2. 构造三个自由点A、B、C并选定后执行“构造”子菜单“连接”或按快捷键Ctrl+L得三角形ABC，选定三边执行“构造”子菜单“比例点”或按快捷键Ctrl+M构造三边中点E、F、G，选定E、F、G三点然后执行“构造”子菜单“连接”或按快捷键Ctrl+L，得到基本图形，如图：
3. 选定点A、B、C(原象)然后执行“变换”子菜单“迭代”弹出“迭代”对话框，将“显示点”右侧的复选框取消勾选，删除“迭代深度”右侧文本框的数值然后点击绘图区的变量n，即迭代深度引用变量n，如图：
4. 鼠标点击一下“映像”最上面的粉色背景文本框，然后依次点击绘图区的点E、B、F，结果如图：
5. 点击“添加映像”，系统自动增加三个映像文本框，然后依次点击绘图区的点G、F、C，再次点击“添加映像”，系统再次自动增加三个映像文本框，然后依次点击绘图区的点A、E、G，点击“确定”后显示迭代结果(迭代深度为变量的初始值1)，如图：
6. 拖动变量n的滑杆，n的值随之变化，即迭代深度动态变化，以下是迭代深度为3(n=3)和迭代深度为5(n=5)的效果：
三、数值迭代——牛顿迭代法求方程 x² - 2 = 0 的根
特别提示：
1. 根据牛顿迭代法原理得迭代公式：xₙ₊₁ = xₙ/2 + 1/xₙ；
2. 本示例以 x₀ = 1 为初始值，迭代收敛到正根 +√2。
操作步骤：
1. 执行“数值”子菜单“变量”命令弹出“变量”对话框，“名称”修改为n(迭代次数)，“精确度”修改为“单位”，其他可以使用默认值，点击“确定”后创建变量n；
2. 执行“数值”子菜单“变量”命令弹出“变量”对话框，“名称”修改为x_{n}，“精确度”修改为“十万分之一”，其他可以使用默认值，点击“确定”后创建变量xₙ(原象)，如图：
3. 执行“数值”子菜单“计算”命令弹出“计算”对话框，“名称”修改为x_{n+1}，“精确度”修改为“十万分之一”，其他可以使用默认值，点击“确定”后得到计算值xₙ₊₁(映像)，如图：
4. 选定变量xₙ(原象)然后执行“变换”子菜单“迭代”弹出“迭代”对话框，“映像表达式”右侧的文本框引用计算值xₙ₊₁(鼠标点击绘图区的xₙ₊₁)，“迭代深度”右侧的文本框里引用变量n(鼠标点击绘图区的变量n)，如图：
5. 点击“确定”后显示迭代结果(迭代深度为变量的初始值1)，如图：
6. 拖动变量n的滑杆，n的值随之变化，即迭代深度动态变化，当迭代次数为4时方程的解已逼近1.41421，如图：
四、混合迭代——构造√n
1. 新建变量k(迭代深度)，当前值设为3，新建变量n，当前值设为1，计算n+1，如图：
2. 绘制单位长线段AB并度量其长度，在点B附近绘制自由点C并连接AC，过点C构造AC的垂线，如图：
3. 选定点C后执行“构造”子菜单“条件圆”，在“条件表达式”右侧文本框引用线段AB的长度（鼠标点选），如图：
4. 鼠标点击构造垂线和圆的交点D，连接AD并构造中点E，如图：
5. 执行“编辑”子菜单“插入文本”或点击工具箱的文本图标，在“编辑文本”对话框的编辑区插入数学公式根号n+1，n为引用的变量，得到文本√2，如图：
6. 选定文本√2和点E然后执行“编辑”子菜单“合并”，将文本合并到点E，如图：
7. 选定点C和变量n(原象)，然后执行“变换”子菜单“迭代”命令弹出“迭代”对话框，“映象”右侧文本框依次点击点D和计算值n+1，如图：
8. 最后，选定点C和点B执行“编辑”子菜单“合并”命令，如图：
9. 最终效果图如下：
深度迭代：可控可变的动态图形
普通迭代仅能设置固定循环次数，深度迭代支持用变量控制迭代次数。比如，创建一个变量引用为迭代次数，拖动变量滑杆时，迭代次数实时变化，图形也随之动态变化。
在线浏览：https://geo.jhpad.com/f/A3
效果如下：
随机迭代：每次执行结果均不同
按快捷键 Shift+!，每次生成图形均不重复，适合模拟随机分布、自然纹理等场景。
在线浏览：https://geo.jhpad.com/f/1
效果如下：
（该示例源文件由向忠老师分享）
条件停止：智能自动终止迭代
当满足某个条件时（比如点超出画布范围、数值达到某值），迭代自动停止。
（该示例源文件由向忠老师分享）
迭代终点：可编辑可构造的实体点
迭代生成的迭代象是一个不可分割的整体，因此无法度量，也不能在其上直接构造新图形。但迭代“终点”是实体点，拥有普通点的一切属性。构造方法：选定迭代象，点击菜单栏「变换」→「终点」即可生成。
迭代是金狐画板高阶核心功能。从基础正多边形，到复杂分形勾股树等，仅依靠简单重复规则，就能创造层次丰富的几何画面。掌握了迭代，你就掌握了画板的“进阶密码”。
